纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是有一种比较松散的数据价值形式。它有这个 节点(vertice),在这个 节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也老出过,亲戚亲戚亲们通常在节点中储存数据。边表示一两个 节点之间的位于关系。在树中,亲戚亲戚亲们用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是有一种特殊的图,但限制性更强这个 。

曾经的有一种数据价值形式是很常见的。比如计算机网络,本来由这个 节点(计算机原应路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也都时要理解为图,地铁站都时要认为是节点。基于图有这个 经典的算法,比如求图中一两个 节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市中含十根河流过,河中含一两个 小岛。有七座桥桥连接河的两岸和一两个 小岛。送信员总想知道,有越来越一两个 法律方式,能不重复的走过7个桥呢?

(有一种问题在这个 奥数教材中称为"一笔画"问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的都时要看作由7个边和一两个 节点构成的一两个 图:

有一种问题最终被欧拉巧妙的避免。七桥问题也启发了一门新的数学些科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,原应某个节点是否 起点原应终点,越来越连接它的边的数目时要为偶数个(从一两个 桥进入,再从曾经桥被抛弃)。对于柯尼斯堡的七桥,原应一两个 节点都为奇数个桥,而最多非要有一两个 节点为起点和终点,这个 这个 不原应一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。一两个 图的所有节点构成一两个 集合[$V$]。一两个 边都时要表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即一两个 节点。原应[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,越来越图是有向的(directed)。有序的边都时要理解为单行道,非要沿一两个 方向行进。原应[$(v_1, v_2)$]无序,越来越图是无向的(undirected)。无序的边都时要理解成双向都都时要行进的道路。一两个 无序的边都时要看作连接相同节点的一两个 反向的有序边,这个 这个 无向图都时要理解为有向图的有一种特殊情况。

(七桥问题中的图是无向的。城市中的公交线路都时本来无向的,比如位于单向环线)

图的一两个 路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也本来说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为一两个 节点。路径上方的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,亲戚亲戚亲们会在选者某个路径,来从A站到达B站。曾经的路径原应有不止十根,亲戚亲戚亲们往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤情况,来选者十根最佳的路线。原应位于十根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,越来越认为该图中位于环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中位于环路。

 

找到十根环路

原应从每个节点,到任意一两个 其它的节点,是否 十根路径说说,越来越图是连通的(connected)。对于一两个 有向图来说,曾经的连通称为强连通(strongly connected)。原应一两个 有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,越来越认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

原应将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,曾经的图原应是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间越来越路径相连。

图的实现

有一种简单的实现图的法律方式是使用二维数组。让数组a的每一行为一两个 节点,该行的不同元素表示该节点与这个 节点的连接关系。原应[$(u, v) \in E$],越来越a[u][v]记为1,怎么让 为0。比如下面的一两个 中含一两个 节点的图:

 

都时要简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

有一种实现法律方式所位于的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而越来更慢增多。原应边是否 很密集,越来越这个 这个 数组元素记为0,非要稀疏的这个 数组元素记为1,这个 这个 并是否 很经济。

更经济的实现法律方式是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,亲戚亲戚亲们建立一两个 链表。对于任意节点k,原应有[$(m, k) \in E$],就将该节点插进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准法律方式。比如下面的图,

 

都时要用如下的数据价值形式实现:

 

左侧为一两个 数组,每个数组元素代表一两个 节点,且指向一两个 链表。该链表包中含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表都时要分为两部分。邻接表所位于的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组部分储存节点信息,位于[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,位于[$|E|$]的空间,即边的总数。在这个 繁杂的问题中,定点和边还原应有这个 的附加信息,亲戚亲戚亲们都时要将哪些地方地方附加信息储位于相应的节点原应边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上方的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是有一种很简单的数据价值形式。图的组织法律方式比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法繁杂度。我将在后后 介绍这个 图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据价值形式”系列